バックアップ用HDDが壊れたので思案していたのですが、また買い換えるのも面倒なのでDropboxにアップ出来ないかと思い調べると、ありました。
上記サイトを参考にインストールを行いました。私の場合は自宅サーバー（CentOS 6.2 64bit）なのでGUIではなく全てコマンド上で行います。
手順通りにインストールを行えばブラウザ上で表示されるはずです。（私の場合は既存のアカウントに紐付け）
Linuxでdropboxを起動させると「/home/xxxx/Dropbox」以下に同期されたファイルが展開されます。（私はrootで作業したので/root/Dropbox/に作成されました）
その後、ブラウザ上で適当なフォルダ（バックアップファイルを入れる場所）を作るとLinux上にも展開されるので、あとはそのフォルダにバックアップファイルを入れるだけで勝手に同期してくれます。
あと、上記参考サイトの起動スクリプトはroot以外のユーザーが前提なのでrootの場合はスクリプトを修正します。
"/home/$dbuser/.dropbox-dist/dropboxd&"
の部分を
"/$dbuser/.dropbox-dist/dropboxd&"
に修正しました。（2ヶ所）
あとはDropboxの容量制限にさえ気を付けていればとりあえずは問題なさそうです。